Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

de linkerkant:

-\tau \frac{d}{dt} \Big[ T_0 + (T(0)-T_0)e^{-t/\tau} \Big] = -\tau \Big[ -(T(0)-T_0)\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} \Big] = (T(0)-T_0)e^{-t/\tau}

(5)

de rechterkant:

T(t) - T_0 = (T(0)-T_0)e^{-t/\tau}

(6)

Hieruit volgt:

-\tau \dot{T}(t) = T(t) - T_0

(7)

Dus de voorgestelde oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(8)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(9)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

{solution} ex_uitw #your code/answer

Oplossing ex_uitw¶

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A \big((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4\big)

(10)

(T_0 + \Delta T)^4 = T_0^4 + 4 T_0^3 \Delta T + 6 T_0^2 (\Delta T)^2 + 4 T_0 (\Delta T)^3 + (\Delta T)^4

(11)

Substitutie terug

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A \Big( T_0^4 + 4 T_0^3 \Delta T + 6 T_0^2 (\Delta T)^2 + 4 T_0 (\Delta T)^3 + (\Delta T)^4 - T_0^4 \Big)

(12)

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A \Big( 4 T_0^3 \Delta T + 6 T_0^2 (\Delta T)^2 + 4 T_0 (\Delta T)^3 + (\Delta T)^4 \Big)

(13)

Voor kleine $\Delta T$

Omdat $\Delta T \ll T_0$ , zijn termen zoals $(\Delta T)^2$ , $(\Delta T)^3$ , en $(\Delta T)^4$ verwaarloosbaar ten opzichte van $4 T_0^3 \Delta T$ . Dus krijg je:

\dot{Q}_s \approx \epsilon \sigma 4 A T_0^3 \Delta T

(14)

Dus voor kleine temperatuurverschillen is het warmtetransport lineair in $\Delta T$ en kan je h dus als constant beschouwen.



```{exercise} 
:label: ex_fout
Hoe groot is de fout in het warmtetransport door straling die we maken voor het temperatuurbereik waarin we deze proef uitvoeren?

Oplossing¶

Oplossing (voor ΔT = 20 K):¶

\dot{Q}_s^{(\text{lin})} \approx \epsilon \sigma 4 A T_0^3 \Delta T

(15)

fout

De relatieve fout is ongeveer de verhouding van de tweede-orde term tot de lineaire term:

\text{fout} \approx \frac{6 T_0^2 (\Delta T)^2}{4 T_0^3 \Delta T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta T}{T_0}

(16)

\frac{\text{fout}}{\dot{Q}_s} \sim \frac{3}{2} \frac{\Delta T}{T_0}

(17)

Voor $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$ en $T_0 = 300\,\mathrm{K}$ :

\text{fout} \approx \frac{3}{2} \cdot \frac{20}{300} = \frac{30}{300} = 0.1 = 10\%

(18)

Conclusie:
Voor een temperatuursverschil van 20 K is de fout door straling ongeveer 10%.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

De positie van de buis maakt wel uit door de stroming, dus het is belangrijk om deze hetzelfde te houden. Als de buis horizontaal ligt, kan lucht rond de hele buis vrij rondzweven, terwijl verticaal warme lucht langs de buis opstijgt. De dop beperkt warmteverlies aan het uiteinde en zorgt voor een gelijkmatigere temperatuurverdeling.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

lengte = 0.150 #m
diameter = 0.05 #m
dikte = 0.005 #m

# volume van een buis: 
def V (r,h):
    return np.pi * r**2 * h 
# buitenvolume
v_buiten= V(0.025, 0.15)
v_binnen= V(0.02, 0.15)
v_buis= v_buiten- v_binnen

#m = ρ · V
m= 2.7*10**3 * v_buis

#warmtecapaciteit = 8.8E2 J/kg*K

buitenoppervlak = np.pi*diameter*lengte# bepaal zelf in m^2
#print (buitenoppervlak)
warmtecapaciteit = 8.8*10**2 *m #bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times1_zonderdop = np.array([0, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 85, 95, 100, 105, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 150, 155, 160, 170, 175, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 315, 320, 325, 330, 335, 345, 350, 355, 360, 365, 370, 380, 390, 400, 415, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 555, 570, 585, 600])
temps1_zonderdop = np.array([61.8, 60.8, 60.6, 60.1, 59.6, 59.1, 58.6, 58.1, 57.7, 57.2, 56.7, 55.7, 55.3, 54.8, 54.4, 54.2, 53.2, 52.7, 52.2, 51.9, 51.4, 50.7, 50.2, 50.2, 49.7, 49.7, 49.3, 49.3, 48.9, 48.4, 47.9, 47.4, 47.0, 46.5, 46.0, 45.5, 45.1, 44.8, 44.5, 44.3, 44.0, 43.8, 43.3, 43.0, 42.8, 42.6, 42.4, 42.2, 42.0, 41.8, 41.7, 41.4, 41.2, 41.0, 40.8, 40.5, 40.2, 40.1, 40.0, 39.8, 39.6, 39.3, 39.0, 38.4, 38.2, 38.0, 37.7, 37.5, 37.2, 37.0, 36.5, 36.3, 36.1, 35.7, 35.4, 35.3, 35.1, 34.8, 34.4, 34.3, 34.1, 33.8 ])
times1_metdop = np.array([0, 5, 10, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 300, 310, 320, 330, 340, 350, 355, 360, 370, 380, 390, 400, 410, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 550, 560, 570, 580, 590, 600])
temps1_metdop = np.array([58.0, 57.9, 58.1, 58.8, 58.0, 57.7, 57.5, 57.2, 57.8, 57.7, 57.0, 55.8, 55.6, 55.5, 56.0, 55.3, 54.5, 54.4, 53.8, 53.5, 53.2, 52.8, 52.7, 52.5, 52.3, 52.4, 52.1, 51.6, 51.4, 51.2, 51.0, 50.8, 50.5, 50.4, 50.2, 50.0, 49.7, 49.5, 49.4, 49.0, 48.8, 48.6, 48.4, 48.2, 48.0, 48.0, 47.9, 47.6, 47.4, 47.1, 47.0, 46.5, 46.4, 46.2, 46.0, 45.9, 45.5, 45.4, 45.2, 44.6, 44.0, 43.9, 43.7, 43.6, 43.2, 43.0, 42.3, 42.0, 41.9, 41.7, 41.3, 41.2, 40.9, 40.8, 40.4, 40.3, 40.0, 39.9, 39.8, 39.7, 39.3, 39.0, 38.5, 38.4, 38.4, 38.3, 38.0])


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times1_zonderdop, temps1_zonderdop, p0=[50, 500, 20], maxfev=5000)
A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

errors = np.sqrt(np.diag(pocv))  # standaardafwijkingen van A, tau, T_omg
A_err, tau_err, T_omg_err = errors


y_fit = exp_func(times1_zonderdop, *popt)


plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times1_zonderdop, temps1_zonderdop, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times1_zonderdop, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))



plt.legend()
plt.savefig("buis_zonder_dop.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
h_err = (warmtecapaciteit / buitenoppervlak) * (tau_err / tau_exp**2)

print(h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# x

print("Warmteoverdrachtscoëfficiënt h =", h_exp, "±", h_err, "W/m²K")
print(f"h = {h_exp:.1f} ± {h_err:.1f} W/m²K")

0.023561944901923447

31.056739162459873
Warmteoverdrachtscoëfficiënt h = 31.056739162459873 ± 0.6040434338402193 W/m²K
h = 31.1 ± 0.6 W/m²K

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

lengte = 0.150 #m
diameter = 0.05 #m
dikte= 0.005 #m

# volume van een buis: 
def V (r,h):
    return np.pi * r**2 * h 
# buitenvolume
v_buiten= V(0.025, 0.15)
v_binnen= V(0.02, 0.15)
v_buis= v_buiten- v_binnen

#m = ρ · V
m= 2.7*10**3 * v_buis

#warmtecapaciteit = 8.8E2 J/kg*K


buitenoppervlak = np.pi*diameter*lengte# bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 8.8*10**2 *m # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times1_zonderdop = np.array([0, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 85, 95, 100, 105, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 150, 155, 160, 170, 175, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 315, 320, 325, 330, 335, 345, 350, 355, 360, 365, 370, 380, 390, 400, 415, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 555, 570, 585, 600])
temps1_zonderdop = np.array([61.8, 60.8, 60.6, 60.1, 59.6, 59.1, 58.6, 58.1, 57.7, 57.2, 56.7, 55.7, 55.3, 54.8, 54.4, 54.2, 53.2, 52.7, 52.2, 51.9, 51.4, 50.7, 50.2, 50.2, 49.7, 49.7, 49.3, 49.3, 48.9, 48.4, 47.9, 47.4, 47.0, 46.5, 46.0, 45.5, 45.1, 44.8, 44.5, 44.3, 44.0, 43.8, 43.3, 43.0, 42.8, 42.6, 42.4, 42.2, 42.0, 41.8, 41.7, 41.4, 41.2, 41.0, 40.8, 40.5, 40.2, 40.1, 40.0, 39.8, 39.6, 39.3, 39.0, 38.4, 38.2, 38.0, 37.7, 37.5, 37.2, 37.0, 36.5, 36.3, 36.1, 35.7, 35.4, 35.3, 35.1, 34.8, 34.4, 34.3, 34.1, 33.8 ])
times1_metdop = np.array([0, 5, 10, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 300, 310, 320, 330, 340, 350, 355, 360, 370, 380, 390, 400, 410, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 550, 560, 570, 580, 590, 600])
temps1_metdop = np.array([58.0, 57.9, 58.1, 58.8, 58.0, 57.7, 57.5, 57.2, 57.8, 57.7, 57.0, 55.8, 55.6, 55.5, 56.0, 55.3, 54.5, 54.4, 53.8, 53.5, 53.2, 52.8, 52.7, 52.5, 52.3, 52.4, 52.1, 51.6, 51.4, 51.2, 51.0, 50.8, 50.5, 50.4, 50.2, 50.0, 49.7, 49.5, 49.4, 49.0, 48.8, 48.6, 48.4, 48.2, 48.0, 48.0, 47.9, 47.6, 47.4, 47.1, 47.0, 46.5, 46.4, 46.2, 46.0, 45.9, 45.5, 45.4, 45.2, 44.6, 44.0, 43.9, 43.7, 43.6, 43.2, 43.0, 42.3, 42.0, 41.9, 41.7, 41.3, 41.2, 40.9, 40.8, 40.4, 40.3, 40.0, 39.9, 39.8, 39.7, 39.3, 39.0, 38.5, 38.4, 38.4, 38.3, 38.0])


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times1_metdop, temps1_metdop, p0=[50, 500, 20], maxfev=5000)
A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt


# Bereken standaardfouten
errors = np.sqrt(np.diag(pocv))
A_err, tau_err, T_omg_err = errors

y_fit = exp_func(times1_metdop, *popt)


plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times1_metdop, temps1_metdop, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times1_metdop, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))



plt.legend()
plt.savefig("buis_met_dop.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
h_err = (warmtecapaciteit / buitenoppervlak) * (tau_err / tau_exp**2)

print(h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
#
print("Warmteoverdrachtscoëfficiënt h =", h_exp, "±", h_err, "W/m²K")
print(f"h = {h_exp:.1f} ± {h_err:.1f} W/m²K")

18.07011381616315
Warmteoverdrachtscoëfficiënt h = 18.07011381616315 ± 0.8474024630020922 W/m²K
h = 18.1 ± 0.8 W/m²K

Discussie en conclusie¶

In dit experiment is de warmteoverdrachtscoefficient berekent van een koelende buis met en zonder dop. Uit de resultaten blijkt dat er een groot verschil is, de waardes zijn namelijk h = 31.1 ± 0.6 W/m²K zonder dop, en h = 18.1 ± 0.8 W/m²K met dop. dit laat zien dat een dop een sterke invloed heeft op de warmteoverdracht van de koelbuis. Het warmteoverdrachtscoëfficiëntd word vooral gegeven door de stroming van de koele lucht rond de buis, waardoor de h verkleint in de opstelling met dop, want dan wordt de luchtstroom binnenin de buis verminderd en is de warmteoverdracht verlaagt. De warmte afvoer is dus het snelste in de opstelling zonder dop.

De onzekerheiden zijn redelijk klein, wat laat zien dat de metingen relatief nauwkeurig waren en de fit goed was. de onzekerheid die er is kan verklaart worden door de apperatuur (die het niet altijd even goed werkte) en het niet de preciese waarde van dat moment te geven (vaak de temp van iets later of eerder). Verder is er ook warmteverlies naar de omgeving die de metingen zouden kunnen beinvloeden en het minder nauwkeurig maakt.